혹시몰라 정리하는 Master논문

Published: 2019-09-21
Last modified:
Category • Tech

문제 정의

  • 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$
  • Domain $\Omega=(0,2\pi)\in\mathbb{R}$

  • 이류 방정식(Advection Equation)

    \[\begin{align} \begin{cases} u_t+c(x)u_x=0, &x\in\Omega,~t>0, \\ u(0, t)=u(2\pi, t), &t>0, \\ u(x, 0)=u_0(x), & x\in\Omega. \end{cases} \end{align}\]
  • $u_x := \frac{\partial}{\partial x}u(x,t), u_t := \frac{\partial}{\partial t}u(x,t)$
  • 초기 조건 $u_0(x)$
  • $c(x)>0$에서 well-posed

example
$c(x) = c$ (constant)

\[\begin{align} u_t+cu_x=0, \end{align}\]

$(x,t)$ 평면상의 어떤점 $x_0$에 대해 $x=at+x_0$를 만족하는 직선을 가정하면, 이 직선상의 $u$를 $v(t)=u(at+x_t,t)$로 둘수 있다.

\[\begin{align} \frac{d}{dt}v(t)&=\frac{d}{dt}u(ct+x_0,t)\\ &=\frac{\partial}{\partial t}u(ct+x_0,t)\frac{dt}{dt}+\frac{\partial}{\partial t}u(ct+x_0,t)\frac{d(ct+x_0)}{dt}\\ &=u_t(t,ct+x_0)+cu_x(t,ct+x_0) \end{align}\]

advection equation의 정의에서 우변=0 즉 $\frac{d}{dt}v(t)=0, v(t)=v(0)$ 가 성립한다. \(u(at+x_0,t)=u(x_0,t)=u_0(x_0)\) $x=ct+x_0$로 두면, \(u(x,t)=u_0(x-ct)\)

일반적으로

\[u_t+\alpha(x,t)u_x=\(x,t)\]

를 만족하는

\[\frac{dx}{dt}=\alpha(x,t)\]

특성곡선(Characteristic Curve)이라 한다. t=0에서의 어떤점은 반드시 이 직선을 따라 움직이고 수치계산에 있어서는 이 직선들이 교차하거나, 한점에 수렴하지 않아야 stable한 값을 얻을 수 있다.

정리

목표

  • Advection Equation의 정확한 해를 포함하는 구간의 엄밀한 계산(Rigorous computing).

의의

  • 리스크 관리 측면에서 근사해의 엄밀한 오차를 계산하여 예측 할 수 없는 불확실성을
    평가할 수 있게 됨.

방법

  1. $u(x,t)$가 $C_0$-Semigroup을 생성함을 보임으로써 PDE를 $\ell_1$-space의 ODE로 끌어내릴 수 있음을 증명.
  2. Spectral method(Chebyshev, Fourier)를 사용하여 Interpolation 에서 발생할 수 있는 오차를 최소화.
  3. 수치계산에 구간연산을 도입하여 정확한 error bound를 계산.

군, 반군, $C_0$-Semigroup

  • 군
    1. 결합법칙: a* (b * c) = (a * b) * c,
    2. 항등원: a * i = a,
    3. 역원: a * e = i 1,2,3이 존재하는 함수의 집합
  • 반군
    군의 조건에서 결합법칙만 만족
  • $C_0$-Semigroup
    반군(Semigroup) 자체를 표현할 때 쓰이기 보다는 semigroup을 생성할 수 있는 조건을 보여주는 경우가 더 많다.
    Banach space $X$의 반군 $T(t), 0\leq t < \infty$가 있을때,
    1. $T(0)=I$
    2. $\forall t,s \geq 0: T(t+s)=T(t)T(s)$
    3. $\forall x_0\in X: |T(t)x_0-x_0|\rightarrow 0$ as t->0

구간 연산

링크

관련 논문

영어

  1. Akitoshi Takayasu, Suro Yoon, Yasunori Endo, “Rigorous numerical computations for 1D advection equations with variable coefficients”, Japan J. Indust. Appl. Math., Vol. 36, No. 2, pp. 357-384, July 2019. (DOI:10.1007/s13160-019-00345-7, arXiv:1803.02960)

일본어

  1. 尹 授老, 高安 亮紀, 遠藤 靖典, “点列空間上での変数係数1次元移流方程式に対する解の精度保証付き数値計算”, 日本応用数理学会2017年度年会 (2017.09.06-2017.09.08).

  2. 高安 亮紀, 尹 授老, 遠藤 靖典, “Fourier-Chebyshevスペクトル法を用いた変数係数1次元移流方程式の精度保証付き解法”, 第46回数値解析シンポジウム講演予稿集, pp.111-114 (2017.06.28-2017.06.30).

  3. 尹 授老, 高安 亮紀, “スペクトル法を用いた変数係数1次元移流方程式の精度保証付き解法”, 日本応用数理学会2017年 研究部会連合発表会, 電気通信大学 (2017/3/7)

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